7 marzo 2015 - 20:00

Una palla di neve
Una palla di neve si sta sciogliendo. Il suo diametro, inizialmente di 10 cm, si riduce con velocità proporzionale alla superficie, e, dopo 5 minuti, il suo diametro misura 6 cm. Dopo quanti minuti il diametro della palla di neve si riduce a 2 cm ?
Sembra facile.... sembra...

Provo a rispondere, ma quel "sembra facile" deve nascondere qualcosa che non ho considerato.
Chiamiamo 0, 1, 2 rispettivamente la situazione iniziale, quella in cui sono passati cinque minuti e quella finale. Abbiamo così
d0 = 10 cm                    t0 = 0
d1 = 6 cm                      t1 = 5 min
d2 = 2 cm                      t2 ?
Poiché il diametro si riduce proporzionalmente ad area (A) e tempo, lo esprimerò in funzione di queste due variabili e di un coefficiente di proporzionalità ignoto, k.
Δd = k·ΔA·Δt
Ricavo k:
k = Δd / ΔA·Δt = (d0 - d1) / [π·(d0 - d1)2·t1] = 1 / (80π) cm-1·min-1
Ricavo poi Δt  dalla stessa equazione:
 Δt = Δd / (k·ΔA) = (d1-d2) / [k·π·(d1 - d2)2] = 10 min
 

Il riferimento all'analisi matematica nel commento di fine settimana è stato illuminante: quando avevo visto il quesito non mi era venuto in mente di impostare un'equazione differenziale.
Il procedimento è analogo a quello già svolto da Scarri, con l'unica differenza di considerare l'espressione della variazione di diametro dal punto di vista dell'analisi infinitesimale.
Sia x il diametro della sfera a cui si può idealmente approssimare la palla di neve. L'espressione della velocità è la stessa che ha indicato Scarri: detta k una costante di cui si dovrà trovare il valore, la velocità è
               v = k * 4*pi*(x/2)^2 = k * pi*x^2
L'infinitesimo decremento del raggio della sfera è pari al prodotto della velocità e dell'infinitesimo incremento del tempo; traducendolo matematicamente, si parla di differenziali.
               dx = pi*k*x^2 * dt.
Questa è un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili: isolandole, risulta
               dx / x^2 = pi*k * dt;
integrando entrambi i membri (e considerando un'unica costante che congloba quelle risultanti dalle singole integrazioni), risulta:
                ∫dx/x^2 = pi*k * ∫dt
               - 1/x = pi*k*t + C.
Esplicitando la x in funzione di t:
               x = - 1/(pi*k*t + C).
Non resta che trovare il valore delle costanti. A tal proposito, è bene ricorrere ai dati forniti, impostando il seguente sistema:
               10 cm = - 1 / C          ⋀          6 cm = - 1/(pi*k*300s + C),
da cui risulta
               C = (-1/10) cm^(-1)          k = (- 1 / 4500*pi) cm^(-1) * s^(-1).
L'espressione del diametro in funzione del tempo è allora, includendo le costanti e semplificando:
               x = 4500 cm / (t + 450).
Ponendo x = 2cm si può ricavare che il tempo per cui, a partire dall'inizio, il diametro s'è ridotto a 2 cm è 1800s, e cioè 30 minuti.
 
Samuele